Matemática
Matemática
domingo, 14 de julho de 2013
domingo, 7 de julho de 2013
domingo, 30 de junho de 2013
sexta-feira, 21 de junho de 2013
segunda-feira, 17 de junho de 2013
sexta-feira, 14 de junho de 2013
Plano de aula – Grupo 3 – Módulo 3 – MGME – Matemática – 15/06/2013
Plano de aula –
Grupo 3 – Módulo 3 – MGME – Matemática – junho/2013
DIVISIBILIDADE
Objetivos
- Saber mais sobre multiplicação e divisão.
- Antecipar o resultado de certos cálculos e prever algumas características desses resultados.
Conteúdos
- Divisão.
- divisibilidade.
Ano 6º ano.
Tempo estimado: 8 aulas
Desenvolvimento
1ª etapa
A multiplicação com números de 2 algarismos (por exemplo 6 x 28) pode ser pensada com números de um dígito (2 x 3 x 4 x 7). Isso é interessante pois oferece a oportunidade de ler certas informações da escrita numérica que inicialmente não são evidentes. Apresente o exemplo citado para a turma e peça que, com base nele, escrevam as seguintes multiplicações usando apenas números de um algarismo:
a) 4 x 15 =
b) 36 x 24 =
c) 25 x 18 =
d) 12 x 21 =
Analise com os alunos as informações obtidas e pergunte se é possível saber, sem fazer as contas, por quais números o produto da multiplicação é divisível. Por exemplo, se 36 x 24 = 4 x 9x 3 x 8, sabemos que o resultado será um número múltiplo de 4, 9, 3 e 8, os números eleitos para a decomposição ou de suas combinações possíveis – embora, não sejam os únicos.
2ª etapa
Para aprofundar o estudo, proponha que a garotada decida, sem fazer as contas, se as seguinte informações são verdadeiras:
a) 35 x 24 tem o mesmo resultado que 4 x 5 x 3 x 7 x 2
b) 18 x 15 tem o mesmo resultado que 7 x 2 x 9 x 5
c) 5 x 5 x 9 x 2 tem o mesmo resultado que 15 x 30
d) 3 x 7 x 2 x 14 tem o mesmo resultado que 21 x 28
e) 12 x 36 tem o mesmo resultado que 27 x 16
Se necessário, depois, é possível pedir que as crianças confirmem as respostas usando a calculadora.
3ª etapa
Apresente para os alunos o seguinte problema: é possível resolver 24 x 36 usando as teclas da multiplicação (x), de igual (=), do 4 e do 6? E 24 x 37? Por quê?
Neste caso, já não se trata apenas de decompor em fatores de um algarismo. É preciso ir além e determinar de antemão quais são esses fatores. Segundo Hector Ponce, pesquisador argentino de didática da Matemática , “pensar quais multiplicações compõem um número também permitem refletir sobre o funcionamento dos critérios de divisibilidade. Os critérios permitem saber, sem fazer a divisão, se um número é ou não divisível por outro. Isto é, se ao dividir um número A por outro B, o resto vai ou não ser zero. Acreditamos que os alunos devem saber isso, mas também e fundamentalmente, devem ter a oportunidade de se perguntar pelo seu funcionamento. Introduzir as crianças em um trabalho vinculado às justificativas dos critérios implica a partir da nossa perspectiva, convidá-los a percorrer um território particularmente fértil para explorar, argumentar, colocar em jogo conhecimentos de múltiplos e divisores, explicitar relações, pensar nas condições de validade de certa questão, etc.”
4ª etapa
Aprender critérios de divisibilidade é mais que decorar regras pré-estabelecidas e analisar se um determinado número compre ou não as condições esperadas. Por exemplo, ensinar que, para saber se um número é divisível por 4 basta verificar se os dois últimos algarismos são divisíveis por 4 ou se o número em questão termina em dois zeros, não é suficiente para que compreendam a regra. Dúvidas pertinentes como “por que só se termina com dois zeros é divisível por 4?”, “Por que também não é divisível por 4 números terminados com dois 5 (55)?”, “Por que só é divisível por 4 números terminados e não os iniciados por múltiplos de 4?”.
Nas próximas etapas, os alunos são convidados a refletir sobre as regularidades e elaborar critérios de divisibilidade por 2, 5 e 4. Proponha que resolvam individualmente as questões a seguir.
a) O número 426 é divisível por 2?
b) Sem armar a conta ou usar a calculadora, responda se é possível dividir R$ 3.276,00 entre duas pessoas. Qual o valor que cada pessoa deverá receber, aproximadamente? Como resolveu esse problema?
c) Faça os cálculos necessários, se desejar com a calculadora, para descobrir o valor que cada pessoa irá receber. O resultado obtido foi o mesmo que você afirmou mentalmente?
d) Dê exemplos de outros números que você pode afirmar que são divisíveis por 2 sem fazer a conta.
e) Formule uma regra para divisão por 2.
Discuta as respostas apresentadas pela turma e socialize os textos apresentados para a regra pedida na questão e. Por fim, proponha que os alunos, reunidos, formulem uma regra. É importante discutir com os estudantes que um número é divisível por outro quando o resto é zero. É esperado que a garotada conclua que todo número par é divisível por 2.
5ª etapa
Questione os estudantes se, um número que termina com zero, é divisível por 5. Pergunte se essa regra é válida para todos os números terminados em zero. Proponha que, em duplas, formulem uma regra que defina se um número é divisível por 5. É esperado que os alunos, tal como na etapa anterior, observem regularidades da tabuada e generalizem. Ao construírem e organizarem um repertório básico, os alunos podem observar algumas propriedades das operações, tais como a associatividade e a comutatividade da multiplicação.
Avaliação e Recuperação
Para analisar o que os alunos aprenderam, proponha uma ampliação do trabalho com regularidades, desta vez com o número 4. Desafie as crianças a realizar as seguintes atividades:
Responda se os números abaixo são múltiplos de 4:
a) 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90
b) 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900
Proponha que as crianças observem o que aconteceu. É esperado que observem que nem todos os números redondos de 2 algarismos são múltiplos de 4 (apenas 20, 40, 60 e 80). Porém, que todos os números redondos terminados em 00 são. Peça que elaborem uma regra, apoiando-se nas 3 primeiras etapas, em que precisavam recorrer à decomposição dos fatores em números de 1 algarismo, como 100 = 5 x 5 x 4. Retome que é possível pensar que os números terminados em 00 são múltiplos de 100 (por exemplo, 200 = 2 x 100, etc.). Então, todos os terminados em 00 são múltiplos de 4 (200 = 2 x 100 = 2 x 5 x 5 x 4).
- Saber mais sobre multiplicação e divisão.
- Antecipar o resultado de certos cálculos e prever algumas características desses resultados.
Conteúdos
- Divisão.
- divisibilidade.
Ano 6º ano.
Tempo estimado: 8 aulas
Desenvolvimento
1ª etapa
A multiplicação com números de 2 algarismos (por exemplo 6 x 28) pode ser pensada com números de um dígito (2 x 3 x 4 x 7). Isso é interessante pois oferece a oportunidade de ler certas informações da escrita numérica que inicialmente não são evidentes. Apresente o exemplo citado para a turma e peça que, com base nele, escrevam as seguintes multiplicações usando apenas números de um algarismo:
a) 4 x 15 =
b) 36 x 24 =
c) 25 x 18 =
d) 12 x 21 =
Analise com os alunos as informações obtidas e pergunte se é possível saber, sem fazer as contas, por quais números o produto da multiplicação é divisível. Por exemplo, se 36 x 24 = 4 x 9x 3 x 8, sabemos que o resultado será um número múltiplo de 4, 9, 3 e 8, os números eleitos para a decomposição ou de suas combinações possíveis – embora, não sejam os únicos.
2ª etapa
Para aprofundar o estudo, proponha que a garotada decida, sem fazer as contas, se as seguinte informações são verdadeiras:
a) 35 x 24 tem o mesmo resultado que 4 x 5 x 3 x 7 x 2
b) 18 x 15 tem o mesmo resultado que 7 x 2 x 9 x 5
c) 5 x 5 x 9 x 2 tem o mesmo resultado que 15 x 30
d) 3 x 7 x 2 x 14 tem o mesmo resultado que 21 x 28
e) 12 x 36 tem o mesmo resultado que 27 x 16
Se necessário, depois, é possível pedir que as crianças confirmem as respostas usando a calculadora.
3ª etapa
Apresente para os alunos o seguinte problema: é possível resolver 24 x 36 usando as teclas da multiplicação (x), de igual (=), do 4 e do 6? E 24 x 37? Por quê?
Neste caso, já não se trata apenas de decompor em fatores de um algarismo. É preciso ir além e determinar de antemão quais são esses fatores. Segundo Hector Ponce, pesquisador argentino de didática da Matemática , “pensar quais multiplicações compõem um número também permitem refletir sobre o funcionamento dos critérios de divisibilidade. Os critérios permitem saber, sem fazer a divisão, se um número é ou não divisível por outro. Isto é, se ao dividir um número A por outro B, o resto vai ou não ser zero. Acreditamos que os alunos devem saber isso, mas também e fundamentalmente, devem ter a oportunidade de se perguntar pelo seu funcionamento. Introduzir as crianças em um trabalho vinculado às justificativas dos critérios implica a partir da nossa perspectiva, convidá-los a percorrer um território particularmente fértil para explorar, argumentar, colocar em jogo conhecimentos de múltiplos e divisores, explicitar relações, pensar nas condições de validade de certa questão, etc.”
4ª etapa
Aprender critérios de divisibilidade é mais que decorar regras pré-estabelecidas e analisar se um determinado número compre ou não as condições esperadas. Por exemplo, ensinar que, para saber se um número é divisível por 4 basta verificar se os dois últimos algarismos são divisíveis por 4 ou se o número em questão termina em dois zeros, não é suficiente para que compreendam a regra. Dúvidas pertinentes como “por que só se termina com dois zeros é divisível por 4?”, “Por que também não é divisível por 4 números terminados com dois 5 (55)?”, “Por que só é divisível por 4 números terminados e não os iniciados por múltiplos de 4?”.
Nas próximas etapas, os alunos são convidados a refletir sobre as regularidades e elaborar critérios de divisibilidade por 2, 5 e 4. Proponha que resolvam individualmente as questões a seguir.
a) O número 426 é divisível por 2?
b) Sem armar a conta ou usar a calculadora, responda se é possível dividir R$ 3.276,00 entre duas pessoas. Qual o valor que cada pessoa deverá receber, aproximadamente? Como resolveu esse problema?
c) Faça os cálculos necessários, se desejar com a calculadora, para descobrir o valor que cada pessoa irá receber. O resultado obtido foi o mesmo que você afirmou mentalmente?
d) Dê exemplos de outros números que você pode afirmar que são divisíveis por 2 sem fazer a conta.
e) Formule uma regra para divisão por 2.
Discuta as respostas apresentadas pela turma e socialize os textos apresentados para a regra pedida na questão e. Por fim, proponha que os alunos, reunidos, formulem uma regra. É importante discutir com os estudantes que um número é divisível por outro quando o resto é zero. É esperado que a garotada conclua que todo número par é divisível por 2.
5ª etapa
Questione os estudantes se, um número que termina com zero, é divisível por 5. Pergunte se essa regra é válida para todos os números terminados em zero. Proponha que, em duplas, formulem uma regra que defina se um número é divisível por 5. É esperado que os alunos, tal como na etapa anterior, observem regularidades da tabuada e generalizem. Ao construírem e organizarem um repertório básico, os alunos podem observar algumas propriedades das operações, tais como a associatividade e a comutatividade da multiplicação.
Avaliação e Recuperação
Para analisar o que os alunos aprenderam, proponha uma ampliação do trabalho com regularidades, desta vez com o número 4. Desafie as crianças a realizar as seguintes atividades:
Responda se os números abaixo são múltiplos de 4:
a) 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90
b) 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900
Proponha que as crianças observem o que aconteceu. É esperado que observem que nem todos os números redondos de 2 algarismos são múltiplos de 4 (apenas 20, 40, 60 e 80). Porém, que todos os números redondos terminados em 00 são. Peça que elaborem uma regra, apoiando-se nas 3 primeiras etapas, em que precisavam recorrer à decomposição dos fatores em números de 1 algarismo, como 100 = 5 x 5 x 4. Retome que é possível pensar que os números terminados em 00 são múltiplos de 100 (por exemplo, 200 = 2 x 100, etc.). Então, todos os terminados em 00 são múltiplos de 4 (200 = 2 x 100 = 2 x 5 x 5 x 4).
O uso da narrativa em divisibilidade
De que vale ser um resolvedor de problemas de divisibilidade se
isso não significará uma aprendizagem significativa para os alunos, mas apenas
o mecanicismo e a repetição, onde números são simplesmente trocados em
exercícios pré-resolvidos?
A competência para a resolução de exercícios de divisibilidade deve
vir acompanhada da aquisição de outras habilidades e competências, como a
leitura, a escrita, a interpretação do texto, o raciocínio lógico, entre
outros...
Para isso, nada melhor que ensinar os alunos a resolverem
exercícios começando por fazê-los interpretar o exercício em questão e, para
isso, podemos pensar: como estimulá-los a ler e escrever?
Trabalhar com narrativa pode tornar possível esse estímulo para a
leitura e escrita, bem como para a introdução de conceitos, uma vez que
mostrará aos alunos um significado e sentido para o estudo daquele conteúdo,
não como mais um problema a ser resolvido e repetido em uma lista de
exercícios.
Acredito que não só a história da
Matemática deve ser trabalhada nas aulas de Matemática, mas de vários ramos da
ciência, até mesmo para que os alunos deixem de ter uma visão fragmentada do
ensino.
quarta-feira, 12 de junho de 2013
segunda-feira, 10 de junho de 2013
Origem primitiva da matemática
Bibliografia:
História da Matemática – Carl B Boyer
“Stone age mathematic” – Strik, D.
História da Matemática – Carl B Boyer
“Stone age mathematic” – Strik, D.
domingo, 9 de junho de 2013
357314 53GURO
357314 53GURO
3M D14 D3 V3R40, 3574V4 N4 PR414, 0853RV4ND0 DU45 CR14NC45 8R1NC4ND0 N4 4R314. 3L45 7R484LH4V4M MU170 C0N57RU1ND0 UM C4573L0 D3 4R314, C0M 70RR35, P4554R3L45 3 P4554G3NS 1N73RN45. QU4ND0 3574V4M QU453 4C484ND0, V310 UM4 0ND4 3 D357RU1U 7UD0, R3DU21ND0 0 C4573L0 4 UM M0N73 D3 4R314 3 35PUM4.
4CH31 QU3, D3P015 D3 74N70 35F0RC0 3 CU1D4D0, 45 CR14NC45 C41R14M N0 CH0R0.
C0RR3R4M P3L4 PR414, FUG1ND0 D4 4GU4, R1ND0 D3 M405 D4D45 3 C0M3C4R4M 4 C0N57RU1R 0U7R0 C4573L0.
C0MPR33ND1 QU3 H4V14 4PR3ND1D0 UM4 GR4ND3 L1C40; G4574M05 MU170 73MP0 D4 N0554 V1D4 C0N57RU1ND0 4LGUM4 C0154 3 M415 C3D0 0U M415 74RD3, UM4 0ND4 P0D3R4 V1R 3 D357RU1R 7UD0 0 QU3 L3V4M05 74N70 73MP0 P4R4 C0N57RU1R. M45 QU4ND0 1550 4C0N73C3R 50M3N73 4QU3L3 QU3 73M 45 M405 D3 4LGU3M P4R4 53GUR4R, 53R4 C4P42 D3 50RR1R! S0 0 QU3 P3RM4N3C3 3 4 4M124D3, 0 4M0R 3 C4R1NH0.
0 R3570 3 F3170 D3 4R314
sábado, 8 de junho de 2013
Por que estudar Matemática?
A principal razão para se estudar a matemática de nível avançado é que ela é interessante e prazerosa. As pessoas gostam de sua característica desafiadora, de sua clareza e do fato de que você pode saber se está certo ou não. A solução de um problema provoca uma excitação e uma satisfação.
Você vai encontrar todos estes aspectos num curso de nível superior. Você também deve estar ciente da enorme importância da matemática e do modo como ela está avançando numa velocidade espetacular.
Matemática é sobre padrões e estruturas; ela é sobre análise lógica, dedução, cálculo dentro de padrões e estruturas. Quando os padrões são encontrados, frequentemente em muitas áreas diferentes da ciência e da tecnologia, a matemática destes padrões pode ser usada para explicar e controlar situações e acontecimentos naturais. A matemática tem uma influência persuasiva em nossas vidas cotidianas e contribuem para a riqueza do país.
A importância da matemática
O uso diário da aritmética e a apresentação de informações através de gráficos são lugares comuns no nosso dia a dia. Estes são os aspectos elementares da matemática. A matemática avançada é amplamente usada, mas frequentemente de um modo invisível e inesperado. A matemática dos códigos de correção de erros é aplicada a aparelhos de CD e a computadores. As fotos estonteantes de longínquos planetas enviadas pelo Voyager II não poderiam ter sua clareza e sua qualidade sem esta matemática.
A jornada do Voyager aos planetas não poderia ter sido calculada sem a matemática das equações diferenciais. Sempre que se diz que avanços são feitos com supercomputadores, tem de se saber que é preciso ter uma teoria matemática que instrui o computador sobre o que deve ser feito, desse modo permitindo a ele que aplique sua capacidade de rapidez e exatidão.
O desenvolvimento dos computadores foi iniciado nos Estados Unidos pelos matemáticos e lógicos que continuam a dar importantes contribuições à teoria da ciência da computação. A próxima geração de softwares requer os métodos matemáticos mais recentes daquela que é chamada teoria das categorias, uma teoria de estruturas matemáticas que tem trazido novas perspectivas aos fundamentos da matemática e da lógica. As ciências físicas (química, física, oceanografia, astronomia) requerem matemática para o desenvolvimento de suas teorias.
Em ecologia, a matemática tem sido usada quando se estudam as leis da dinâmica populacional. A estatística fornece teoria e métodos para a análise de muitos tipos de dados. A estatística também é essencial em medicina para a análise de dados das causas de doenças e da utilidade de novas drogas.
A viagem de avião não teria sido possível sem a matemática dos fluxos de ar e do controle de sistemas. Scanners de corpo é a expressão de matemática sutil, descoberta no Século 19, que torna possível a construção de uma imagem do interior do objeto a partir da informação de certo número de visualizações dele por meio de raios-X.
Assim, a matemática é frequentemente envolvida com as questões de vida e de morte. Estas aplicações têm sido desenvolvidas frequentemente a partir do estudo de ideias gerais por si mesmas: números, simetria, área e volume, taxa de variação, forma, dimensão, aleatoriedade e muitas outras.
A matemática faz contribuições especiais ao estudo destas ideias, a saber, os métodos de definições precisas; argumentos cuidadosos e rigorosos; representação de ideias por meio de vários métodos, incluindo símbolos e fórmulas, figuras e gráficos; métodos de cálculo; e a obtenção de soluções precisas de problemas claramente enunciados, ou afirmações claras dos limites do conhecimento. Estas características permitem à matemática fornecer um fundamento sólido a muitos aspectos da vida cotidiana, e oferecer uma compreensão das complexidades inerentes a situações aparentemente muito simples.
Por estas razões, matemáticas e cálculo têm sido associados desde os primeiros tempos. Nos tempos modernos, a necessidade de cálculos matemáticos muito rápidos em tempos de guerra, particularmente em balística e em decodificação, foi um forte estímulo para o desenvolvimento do computador eletrônico.
A existência de computadores de alta velocidade agora ajuda os matemáticos a calcular e a visualizar situações como nunca antes. Estes cálculos também se desenvolveram do cálculo numérico ao cálculo simbólico e, atualmente, ao cálculo das próprias estruturas matemáticas.
Este último é muito recente e parece estar levando a uma grande transformação. Estas capacidades mudam não a natureza da matemática, mas o poder do matemático, que aumenta talvez um milhão de vezes a possibilidade de compreender, de questionar e de explorar.
Existe também uma interação no sentido contrário. A noção de computação não teria adquirido sentido sem a Matemática, e foi a análise dos métodos matemáticos feita pelos matemáticos que levou à noção de computador programável.
De fato, dois matemáticos, Von Neumann nos Estados Unidos e Turing na Inglaterra são conhecidos como os pais dos computadores modernos. A análise da computação e as tentativas de torná-la tão confiável quanto possível, precisa de Matemática profunda, e esta necessidade está aumentando.
Um computador, a menos que seja programado, é nada mais do que uma caixa de metal, vidro, silício, etc. A programação expressa algoritmos de uma forma adequada para o computador.
A Matemática é necessária como uma linguagem para a especificação, para a determinação do que é que deve ser feito, como e quando, e para a verificação de que os programas e os algoritmos funcionam corretamente. A Matemática é essencial para o uso correto dos computadores na maioria das aplicações e as necessidades matemáticas da computação têm originado muitas questões novas e excitantes.
Por que se deve ensinar matemática para as crianças?
Em alguns estudos feitos para se saber o porquê de ensinar matemática às crianças, foram pensadas algumas respostas para tal pergunta.
Algumas dessas repostas foram de funcionalidades práticas, porém era desejo de se chegar a algo mais profundo. Foi então que uma simples dedução respondeu a essa pergunta.
Ensinar matemática é necessário para que se possa introduzir aos alunos conceitos de raciocínio lógico, capacidade de abstrair, generalizar e principalmente desenvolver a independência do indivíduo no cotidiano.
Seguindo essa linha de raciocínio, outras questões surgem:
Será que os métodos de ensino são adequados a essa realidade?
Será que os alunos aprendem de fato esse saber de fundamental importância ou apenas decoram fórmulas e a tabuada?
O dever do educador é mostrar aos alunos a praticidade dessa tal matemática, mostrar-lhes que, em nossa sociedade capitalista e globalizada, tudo que se pode imaginar está ligado diretamente ou indiretamente a esta ciência.
Como exemplo, pode-se citar a Estatística, um dos ramos da matemática que diariamente aparece nos jornais impressos, na internet e na televisão.
A maioria das pessoas conhece esse conteúdo riquíssimo que nos ajuda a compreender o que está se passando em nosso país e no mundo.
O papel do professor/mediador nesse processo de construção de conhecimento é fazer com que os alunos estabeleçam vínculos entre a teoria estudada e essas situações cotidianas, as quais estão se tornando cada vez mais rotineiras.
Vale destacar que, atualmente, existem várias propostas para o ensino da matemática, porém, estudos indicam que a proposta mais eficiente é a proposta baseada na “Resolução de Problemas”.
Nesse tipo de proposta, visa-se a construção de conceitos matemáticos por meio de situações que estimulam a curiosidade e pelas experiências que deverão ser interpretadas, assim, busca-se explicar essa situação dentro de uma concepção matemática.
Existem outras propostas para o ensino da matemática. Como exemplo, pode-se destacar a modelagem, a etnomatemática, a história da matemática, os jogos e o uso de computadores.
Porém, o mais interessante e importante a se fazer é trabalhar essas práticas simultaneamente, mostrando aos alunos que elas se completam, quebrando, assim, o paradigma de uma matemática fragmentada.
Sabe-se que num ambiente escolar há algumas dificuldades em se desenvolver essas propostas matemáticas, mas vale a pena experimentar cada uma dessas propostas e buscar a que melhor se adéque à realidade.
sexta-feira, 7 de junho de 2013
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